Las piramides egipcias

¿Supieron hallar el volumen de una pirámide?

   El problema geométrico más complejo abordado por los egipcios y del que haya quedado constancia es el cálculo del volumen del tronco de pirámide o ‘pirámide truncada’. Su necesidad está evidentemente relacionada con el conocimiento del volumen de piedra necesario hasta determinada altura de la pirámide. El papiro Moscú incluye dicho cálculo exponiendo una serie de reglas sucesivas que coinciden básicamente con las realizadas actualmente, nada elementales para aquella época. Dentro de ellas una cuestión previa que llamó la atención desde el principio fue la aparición del término 1/3 en la relación de los volúmenes y que, dada la corrección con que se aplica durante el procedimiento, sólo puede estar motivada por el conocimiento previo de que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen del paralelepípedo de la misma base e igual altura que la pirámide.
   Sobre este particular se han sugerido procedimientos extremadamente empíricos como es el de construir modelos en madera cuyo peso se compare o recipientes de tal forma llenos de arena cuyo contenido se pesa con el mismo objetivo. Observando la complejidad que podían alcanzar distintos cálculos entre los escribas egipcios podemos afirmar que estas posibilidades son improbables. Aquí se expondrá un método para hallar la relación de 1/3 entre ambos volúmenes basado en la descomposición del paralelepípedo en diversos prismas (poliedros limitados por dos polígonos iguales y por varios paralelogramos).   La descomposición propuesta consiste en trazar la pirámide interior al paralelepípedo distinguiendo entre dicha pirámide y el resto del paralelepípedo. Si el paralelepípedo se divide en cuatro prismas triangulares iguales trazando las diagonales de sus caras superior e inferior se podrá diferenciar cada uno de estos prismas que, a su vez, comprende una cuarta parte de la pirámide original en forma de un tetraedro recto. Si el resto del prisma triangular se divide en dos tetraedros iguales mediante la subdivisión por la diagonal de su cara rectangular uno de ellos es claramente igual (por tener la misma base e igual altura) que el tetraedro parte de la pirámide original. En consecuencia, la parte de la pirámide resulta ser de un volumen mitad que el resto del prisma triangular o, en otras palabras, la tercera parte del volumen total correspondiente al prisma recto. Como esta relación se repite en cada uno de los cuatro prismas triangulares en que se ha descompuesto el paralelepípedo la relación global se mantendrá: El volumen de la pirámide es la tercera parte del paralelepípedo de igual base e idéntica altura.

trucos matematicos

Truco nº 1

El truco es el siguiente: Pedís a alguien que os escriba un número de cuatro cifras. En un papel aparte restáis 2 a esa cifra y le ponéis un 2 delante:

Ejemplo: Si escriben 2435 vosotros escribiréis 22433

Escribís el número aparte, sin que nadie os vea. Después pedís a alguien que escriba otro número de 4 cifras debajo. Una vez hecho esto, decís que el siguiente lo vais a escribir vosotros. Tenéis que completar con nueves (es decir, hacer que la suma de vuestra cifra y la anterior de todo nueves).

Ejemplo: Si el primer número que han puesto es el 2435 y el segundo el 2354

2435
2354
7645

Hemos puesto el 7645 porque 7+2=9, 6+3=9, 5+4=9 y 4+5=9. Tenéis que ponerlo simulando que lo ponéis al azar.

Una vez hecho esto, repetimos la operación otra vez, decimos que pongan otro número de cuatro cifras debajo, y nosotros volvemos a poner otro completando a nueves con el anterior

2435
2354
7645
4278
5721

Ahora viene lo bueno: decimos a alguien que sume toda la columna. El resultado será el número que previamente habíamos copiado en un papel. Consejo: verificar antes porque casi todo el mundo se equivoca al hacer la suma.

Explicación: No tiene nada de misterioso. Fijémonos en los pares 2-3 y 4-5 de la columna. Ambos suman 9999, por lo que los 4 suman 19.998. Es decir, 20.000 menos 2. Sumado a la primer cifra es lo mismo que restarle 2 y ponerle un 2 delante.

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Truco nº 2

Este truco esta bien, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengáis una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: debeis enseñar las siguientes columnas.

1	9		2	10		4	12		8	12
3	11		3	11		5	13		9	13
5	13		6	14		6	14		10	14
7	15		7	15		7	15		11	15

Pedir a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pedir que os señale en cuales de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tendréis que sumar los números marcados en rojo de las columnas que os señalen.

Ejemplo: Si han pensado en el número 7, os señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, tendréis 1+2+4=7.

Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando os señalan las columnas, os están indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).

Luis Sanguinetti

Curiosidades matematicas

EL NÚMERO 13

• Desde siempre el numero 13 ha sido asociado a la mala suerte.
• Ya Hesiodo advertía a los labradores sobre empezar la siembra el día 13 del mes.
• En el año intercalado babilónico había un mes 13 intercalado en el signo del CUERVO DE LA MALA SUERTE.
• 13 fueron los comensales de la última cena de Cristo.
• COVEN se llamaba al grupo de doce brujas a las que asistía el diablo como décimo tercero.
• En las creencias mayas existían 13 cielos y el calendario azteca estaba dividido en períodos de 13 días.
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

La humanidad y la naturaleza en números.

1 gramo de veneno de una Cobra puede matar a 150 personas.

1 sola pila puede contaminar 175.000 litros de agua.

1 vuelta al mundo puede dar la unión de venas, arterias y vasos del cuerpo humano.

2.000.000.000 de personas pueden morir con una bomba de plutonio del tamaño de un pomelo.

9.460.800.000.000 de kilómetros mide aproximadamente un año luz.

5.975.000.000.000.000.000.000.000 kilos pesa nuestro planeta.




Julio Araujo

criterios de semejanzas de triangulos

concepto de semejanzas de los triangulos

En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas.  Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.

Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:

c y c' (lado grande y lado grande)

a y a' (lado pequeño y lado pequeño)

b y b' (lado mediano y lado mediano)

Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene  es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados sonproporcionales. 

El concepto de semejanza en la vida cotidiana

Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo?  Será acaso:

• Un objeto que se parece a otro
• Objetos de igual tamaño
• Objetos de igual forma
• Objetos exactamente iguales

Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

1. El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.
2. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.
3. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.
4. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos.
5. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.

Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza.  Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como:  color, tamaño y forma, entre otros. 

Resumiendo:  el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.

Otras Formas para la clase de mate

 Con ayuda del espejo 
Problema 
Un modo mas para determinar la altura de un árbol con ayuda del espejo. A cualquier distancia (figura 14) desde el árbol, sobre un piso llano en el punto C se pone el espejo horizontalmente y alejan hacia atrás hasta un punto D , en el cual el observador ve la cima A del árbol en el espejo. Por lo tanto el árbol AB es tantas veces más alto que la estatura del observador ED , en las veces que la distancia BC desde el espejo hasta el árbol es más grande que la distancia CD desde el espejo hasta el observador. ¿Por qué? 

Figura 14 Medición de altura con la ayuda de un espejo .

Solución 
El modo está fundado en la ley de la reflexión de la luz. El punto superior A (figura 15) se refleja en el punto A' así, que AB = A'B.Dada la semejanza de los triángulos BCA' y CED se deduce, que 

A'B : ED = BC : CD
En esta proporción queda solo cambiar A'B igualado a AB, para argumentar la proporción de la tarea. 
Esta manera cómoda podemos utilizar en cualquier tiempo, pero no en el bosque frondoso. 

Problema 
¿Cómo tenemos que proceder, cuando no podemos acercarnos al árbol que queremos medir? 

Figura 15. Construcción geométrica para el modo de medir las alturas con ayuda del espejo

Solución 
Esta antigua tarea, tiene ya, como 500 años. Ella la examinó un matemático de la Edad Media, Antonio de Cremona en su obra "Geodesia Práctica"(año 1400). 
La tarea se soluciona con la doble aplicación del modo anteriormente descrito, poniendo el espejo en dos sitios. Haciendo la construcción correspondiente, no es difícil por semejanza de los triángulos deducir que la altura buscada del árbol es igual a la elevación del ojo del observador, multiplicado por la proporción de la distancia entre las dos posiciones del espejo hasta la diferencia las distancias entre el observador y el espejo. 
Antes de terminar nuestro diálogo sobre la medición de los arboles, propongo a los lectores una tarea mas "desde el bosque".

Luis Sanguinetti

4to"C" nº:32

Geometria molecular

La Geometría molecular o estructura molecular se refiere a la disposición tri-dimensional de los átomos que constituyen una molécula. Determina muchas de las propiedades de las moléculas, como son la reactividad, polaridad, fase, color, magnetismo, actividad biológica, etc.

Geometria molecular

Dado que el movimiento de los átomos en una molécula está determinado por la mecánica cuántica, uno debe definir el "movimiento" de una manera cuántica.

Los movimientos cuánticos (externos) de traslación y rotación cambian fuertemente la geometría molecular. (En algún grado la rotación influye en la geometría por medio de la fuerza de Coriolis y la distorsión centrífuga, pero son despreciables en la presente discusión).

Un tercer tipo de movimiento es la vibración, un movimiento interno de los átomos en una molécula. Las vibraciones moleculares son armónicas (al menos en una primera aproximación), lo que significa que los átomos oscilan en torno a su posición de equilibrio, incluso a la temperatura del cero absoluto. En el cero absoluto todos los átomos están en su estado vibracional basal y muestran movimiento mecánico cuántico de punto cero, esto es, la función de onda de un modo vibracional simple no es un pico agudo, sino un exponencial de ancho finito. A temperaturas mayores, los modos vibracionales pueden ser excitados térmicamente (en un interpretación clásica, esto se expresa al enunciar que "las moléculas vibrarán más rápido"), pero siempre oscilan alrededor de una geometría reconocible para la molécula.

Para tener una comprensión más clara de la probabilidad de que la vibración de una molécula pueda ser térmicamente excitada, se inspecciona el factor de Boltzmann , donde ΔEes la energía de excitación del modo vibracional, k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. A 298K (25 °C), unos valores típicos del factor de Boltzmann son: ΔE = 500 cm^-1 --> 0.089; ΔE = 1000 cm^-1 --> 0.008; ΔE = 1500 cm^-1 --> 7 10^-4. Esto es, si la energía de excitación es 500 cm^-1, aproximadamente el 9% de las moléculas están térmicamente excitadas a temperatura ambiente. La menor energía vibracional de excitación es el modo de flexión (aproximadamente 1600 cm^-1). En consecuencia, a temperatura ambiente menos del 0,07% de todas las moléculas de una cantidad dada de agua vibrarán más rápido que en el cero absoluto.

Como se mencionó anteriormente, la rotación influye fuertemente sobre la geometría molecular. Pero, como movimiento mecánico cuántico, se excita a bajas temperaturas (comparada con la vibración). Desde un punto de vista clásico, puede decirse que más moléculas rotan más rápidamente a temperatura ambiente, esto es que tienen mayor velocidad angular y momentum angular. En lenguaje de mecánica cuántica: más "eigenstates" de alto momentum angular son poblados térmicamente al aumentar la temperatura. Las energías de excitación rotacionales típicas están en el orden de unos pocos cm^-1.

Los resultados de muchos experimentos espectroscópicos están ensanchados porque involucran una media de varios estados rotacionales. Frecuentemente es difícil obtener las geometrías a partir de los espectros a altas temperaturas, porque el número de estados rotacionales rastreados en el experimento aumenta al incrementarse la temperatura. En consecuencia, muchas observaciones espectroscópicas sólo se puede esperar que conduzcan a geometrías moleculares confiables a temperaturas cercanas al cero absoluto.

Tipos de estructura molecular

Pares de Electrones Compartidos	Pares de Electrones Solitarios	Distribución	Geometría	Ángulo de Enlace Ideal	Ejemplo	Imagen
2	0	Lineal	Lineal	180o	BeCl2
3	0	Plana Trigonal	Plana Triangular	120o	BF3
2	1	Plana Trigonal	Angular	120o	SO2
4	0	Tetraédrica	Tetraédrica	109,47o (cos-1 (1/3))	CH4
3	1	Tetraédrica	Piramidal Trigonal	109,47o (cos-1 (1/3))	NH3 (107,5°)
2	2	Tetraédrica	Angular	109,47o (cos-1 (1/3))	H2O (104,5°)
5	0	Bipiramidal Trigonal	Bipiramidal Trigonal	90o, 120o	PCl5
4	1	Bipiramidal Trigonal	Tetraédrica Irregular (Balancín)	90o, 120o	SF4
3	2	Bipiramidal Trigonal	Forma de T	90o	ClF3
2	3	Bipiramidal Trigonal	Lineal	180o	XeF2
6	0	Octaédrica	Octaédrica	90o	SF6
5	1	Octaédrica	Piramidal Cuadrangular	90o	BrF5
4	2	Octaédrica	Plana Cuadrada	90o	XeF4

Luis Sanguinetti

4to "C" nº:32